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%%文档的题目、作者与日期
\author{通义千问、五六七}
\title{数量金融实验 - 专题6 - 几何布朗运动}
%\date{2025年10月10日}

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\begin{document}

\maketitle

\abstract{本文介绍几何布朗运动。}

\tableofcontents

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\setlength{\parskip}{1em}  % 增加段落之间的间距为1em

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%\newpage 

\section{几何布朗运动的概念}

几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）是一种常用于金融工程和经济学中的连续时间随机过程，特别适用于模拟股票价格或商品价格的变化。它假设价格的对数收益率服从布朗运动。如果 \(S_t\) 表示某资产在时间 \(t\) 的价格，则几何布朗运动满足以下随机微分方程（SDE）：

\[dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\]

其中，\(W_t\) 是标准布朗运动，\(\mu\) 是预期回报率，\(\sigma\) 是波动率。


\section{几何布朗运动的基本性质}

1. 正性：由于价格不能为负，GBM保证了\(S_t > 0\) 对所有 \(t\)。

2. 乘法性质：如果两个独立的几何布朗运动相乘，结果也是一个几何布朗运动。

3. 对数正态分布：给定初始值 \(S_0\)，\(S_t\) 服从对数正态分布。


\section{几何布朗运动的例子}

一个典型的例子是股票价格模型。假设某公司的股票价格遵循几何布朗运动，我们可以用GBM来预测未来的价格走势，并基于此进行风险管理、期权定价等操作。

\section{几何布朗运动的Python画图实现}

下面是一个使用Python绘制几何布朗运动路径的简单示例：

程序：\texttt{brownian\_motion.py}

图像：
\begin{figure}[ht]\centering
\includegraphics[scale=0.5]{python/geometric_brownian_motion_example.png}
\caption{几何布朗运动的样本路径}
\end{figure}


\section{习题}

1. 修改上述代码，尝试不同的参数（如 \(\mu\) 和 \(\sigma\)），观察它们如何影响轨迹形状。

2. 如果某股票的当前价格是100美元，年化预期回报率为10\%，年化波动率为30\%，请模拟并绘出未来一年内该股票价格的可能路径。

\section{几何布朗运动的应用}

1. 金融衍生品定价：GBM是Black-Scholes-Merton期权定价模型的基础。

2. 风险管理和投资策略：通过模拟不同市场情景下的资产价格变化，投资者可以更好地理解潜在风险和制定相应策略。

3. 宏观经济模型：可用于模拟国家经济指标（如GDP）的增长情况。


\end{document}

